Как возвести матрицу в степень

Возведение матрицы в степень. Вычисление результатов выражений с матрицами.

Здесь мы продолжим начатую в первой части тему операций над матрицами и разберём пару примеров, в которых потребуется применять несколько операций сразу.

Возведение матрицы в степень.

При этом полагаем, что $A^0=E$, где $E$ – единичная матрица соответствующего порядка.

Задана матрица $ A=left(begin 1 & 2 \ -1 & -3 end right)$. Найти матрицы $A^2$ и $A^6$.

Согласно определению $A^2=Acdot A$, т.е. для нахождения $A^2$ нам просто нужно умножить матрицу $A$ саму на себя. Операция умножения матриц рассматривалась в первой части темы, поэтому тут просто запишем процесс решения без подробных пояснений:

$$ A^2=Acdot A=left(begin 1 & 2 \ -1 & -3 end right)cdot left(begin 1 & 2 \ -1 & -3 end right)= left(begin 1cdot 1+2cdot (-1) & 1cdot 2+2cdot (-3) \ -1cdot 1+(-3)cdot (-1) & -1cdot 2+(-3)cdot (-3) end right)= left(begin -1 & -4 \ 2 & 7 end right). $$

Чтобы найти матрицу $A^6$ у нас есть два варианта. Вариант первый: банально продолжить домножать $A^2$ на матрицу $A$:

$$ A^6=A^2cdot Acdot Acdot Acdot A. $$

Однако можно пойти несколько более простым путём, используя свойство ассоциативности умножения матриц. Расставим скобки в выражении для $A^6$:

$$ A^6=A^2cdot Acdot Acdot Acdot A=A^2cdot (Acdot A)cdot (Acdot A)=A^2cdot A^2cdot A^2. $$

Если при решении первым способом потребовалось бы четыре операции умножения, то для второго способа – лишь две. Поэтому пойдём вторым путём:

$$ A^6=A^2cdot A^2cdot A^2=left(begin -1 & -4 \ 2 & 7 end right)cdot left(begin -1 & -4 \ 2 & 7 end right)cdot left(begin -1 & -4 \ 2 & 7 end right)=\= left(begin -1cdot (-1)+(-4)cdot 2 & -1cdot (-4)+(-4)cdot 7 \ 2cdot (-1)+7cdot 2 & 2cdot (-4)+7cdot 7 end right)cdot left(begin -1 & -4 \ 2 & 7 end right)= left(begin -7 & -24 \ 12 & 41 end right)cdot left(begin -1 & -4 \ 2 & 7 end right)=\= left(begin -7cdot(-1)+(-24)cdot 2 & -7cdot (-4)+(-24)cdot 7 \ 12cdot (-1)+41cdot 2 & 12cdot (-4)+41cdot 7 end right)= left(begin -41 & -140 \ 70 & 239 end right). $$

Ответ: $A^2=left(begin -1 & -4 \ 2 & 7 end right)$, $A^6=left(begin -41 & -140 \ 70 & 239 end right)$.

Заданы матрицы $ A=left(begin 1 & 0 & -1 & 2 \ 3 & -2 & 5 & 0 \ -1 & 4 & -3 & 6 end right)$, $ B=left(begin -9 & 1 & 0 \ 2 & -1 & 4 \ 0 & -2 & 3 \ 1 & 5 & 0 end right)$, $ C=left(begin -5 & -20 & 13 \ 10 & 12 & 9 \ 3 & -15 & 8 end right)$. Найти матрицу $D=2AB-3C^T+7E$.

Вычисление матрицы $D$ начнем с нахождения результата произведения $AB$. Матрицы $A$ и $B$ можно перемножать, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. Обозначим $F=AB$. При этом матрица $F$ будет иметь три столбца и три строки, т.е. будет квадратной (если этот вывод кажется неочевидным, посмотрите описание умножения матриц в первой части этой темы). Найдем матрицу $F$, вычислив все её элементы:

Читать еще: Как выглядит паук каракурт

Итак, $F=left(begin -7 & 13 & -3 \ -31 & -5 & 7 \ 23 & 31 & 7 end right)$. Пойдём далее. Матрица $C^T$ – транспонированная матрица для матрицы $C$, т.е. $ C^T=left(begin -5 & 10 & 3 \ -20 & 12 & -15 \ 13 & 9 & 8 end right) $. Что же касаемо матрицы $E$, то это есть единичная матрица. В данном случае порядок этой матрицы равен трём, т.е. $E=left(begin 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end right)$.

В принципе, мы и дальше можем идти пошагово, но оставшееся выражение лучше рассматривать целиком, не отвлекаясь на вспомогательные действия. По сути, нам остались лишь операции умножения матриц на число, а также операции сложения и вычитания.

$$ D=2AB-3C^T+7E=2cdot left(begin -7 & 13 & -3 \ -31 & -5 & 7 \ 23 & 31 & 7 end right)-3cdot left(begin -5 & 10 & 3 \ -20 & 12 & -15 \ 13 & 9 & 8 end right)+7cdot left(begin 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end right) $$

Умножим матрицы в правой части равенства на соответствующие числа (т.е. на 2, 3 и 7):

$$ 2cdot left(begin -7 & 13 & -3 \ -31 & -5 & 7 \ 23 & 31 & 7 end right)-3cdot left(begin -5 & 10 & 3 \ -20 & 12 & -15 \ 13 & 9 & 8 end right)+7cdot left(begin 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end right)=\= left(begin -14 & 26 & -6 \ -62 & -10 & 14 \ 46 & 62 & 14 end right)-left(begin -15 & 13 & 9 \ -60 & 36 & -45 \ 39 & 27 & 24 end right)+left(begin 7 & 0 & 0 \ 0 & 7 & 0 \ 0 & 0 & 7 end right) $$

Выполним последние действия: вычитание и сложение:

$$ left(begin -14 & 26 & -6 \ -62 & -10 & 14 \ 46 & 62 & 14 end right)-left(begin -15 & 30 & 9 \ -60 & 36 & -45 \ 39 & 27 & 24 end right)+left(begin 7 & 0 & 0 \ 0 & 7 & 0 \ 0 & 0 & 7 end right)=\ =left(begin -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \ 46-39+0 & 62-27+0 & 14-24+7 end right)= left(begin 8 & -4 & -15 \ -2 & -39 & 59 \ 7 & 35 & -3 end right). $$

Читать еще: Как зарабатывать удаленно

Задача решена, $D=left(begin 8 & -4 & -15 \ -2 & -39 & 59 \ 7 & 35 & -3 end right)$.

Ответ: $D=left(begin 8 & -4 & -15 \ -2 & -39 & 59 \ 7 & 35 & -3 end right)$.

Пусть $f(x)=2x^2+3x-9$ и матрица $ A=left(begin -3 & 1 \ 5 & 0 end right) $. Найти значение $f(A)$.

Если $f(x)=2x^2+3x-9$, то под $f(A)$ понимают матрицу:

Именно так определяется многочлен от матрицы. Итак, нам нужно подставить матрицу $A$ в выражение для $f(A)$ и получить результат. Так как все действия были подробно разобраны ранее, то тут я просто приведу решение. Если процесс выполнения операции $A^2=Acdot A$ для вас неясен, то советую глянуть описание умножения матриц в первой части этой темы.

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2Acdot A+3A-9E=2 left(begin -3 & 1 \ 5 & 0 end right)cdot left(begin -3 & 1 \ 5 & 0 end right)+3 left(begin -3 & 1 \ 5 & 0 end right)-9left(begin 1 & 0 \ 0 & 1 end right)=\ =2 left(begin (-3)cdot(-3)+1cdot 5 & (-3)cdot 1+1cdot 0 \ 5cdot(-3)+0cdot 5 & 5cdot 1+0cdot 0 end right)+3 left(begin -3 & 1 \ 5 & 0 end right)-9left(begin 1 & 0 \ 0 & 1 end right)=\ =2 left(begin 14 & -3 \ -15 & 5 end right)+3 left(begin -3 & 1 \ 5 & 0 end right)-9left(begin 1 & 0 \ 0 & 1 end right) =left(begin 28 & -6 \ -30 & 10 end right)+left(begin -9 & 3 \ 15 & 0 end right)-left(begin 9 & 0 \ 0 & 9 end right)=left(begin 10 & -3 \ -15 & 1 end right). $$

Возведение матрицы в степень

К квадратным матрицам можно формально применять операцию возведения в степень n. Для этого п должно быть целым числом. Результат данной операции приведен в табл. 9.1. Ввести оператор возведения матрицы м в степень n можно точно так же, как и для скалярной величины: нажав кнопку Raise to Power (Возвести в степень) на панели Calculator (Калькулятор) или нажав клавишу . После появления местозаполнителя в него следует ввести значение степени n.

Таблица 9.1. Результаты возведения матрицы в степень

единичная матрица размерности матрицы M

M -1 – матрица, обратная м

M -1 M -1 , (M -1 M -1 )M -1 , .

Некоторые примеры возведения матриц в степень приведены в листинге 9.15.

Листинг 9.15. Примеры возведения квадратной матрицы в целую степень

интервью Раввина Борода https://cursorinfo.co.il/all-news/rav.
мой телеграмм https://t.me/peshekhonovandrei
мой твиттер https://twitter.com/Andrey54708595
мой инстаграм https://www.instagram.com/andreipeshekhonow/

[b]Мой комментарий:
Андрей спрашивает: Краснодарская синагога – это что, военный объект?
– Да, военный, потому что имеет разрешение от Росатома на манипуляции с радиоактивными веществами, а также иными веществами, опасными в отношении массового поражения. Именно это было выявлено группой краснодарцев во главе с Мариной Мелиховой.

Читать еще: Кто такие глобалисты

[center][Youtube]CLegyQkMkyw[/Youtube][/center]
[center]10:22 [/center]

Доминико Риккарди: Россию ждёт страшное будущее (хотелки ЦРУ):
https://tainy.net/22686-predskazaniya-dominika-rikardi-o-budushhem-rossii-sdelannye-v-2000-godu.html

Завещание Алена Даллеса / Разработка ЦРУ (запрещено к ознакомлению Роскомнадзором = Жид-над-рус-надзором)
http://av-inf.blogspot.com/2013/12/dalles.html

[center][b]Сон разума народа России [/center]

[center][Youtube]CLegyQkMkyw[/Youtube][/center]
[center]10:22 [/center]

[center][b]Сон разума народа России [/center]

Транспонирование матрицы, умножение, возведение в степень

Как мы выяснили в предыдущей статье, с матрицами можно выполнять различные простые операции, такие как сложение, вычитание, умножение и т.д. Они называются простыми, поскольку имеют аналогии с операциями над обычными числами.

Но существуют и такие операции как транспонирование матрицы, произведение двух матриц и возведение матрицы в степень. Они уже имеют свой уникальный алгоритм действий, который мы сейчас разберем.

Итак, приступим к практике.

1. Транспонирование матрицы

Простым языком – это переворачивание матрицы, то есть первая строка превращается в первый столбец, вторая строка превращается во второй столбец, третья строка превращается в третий столбец и так далее.

Пусть дана матрица размером 4×3:

2. Произведение матриц

Рассмотрим такое произведение матриц:

ВАЖНО! Матрицы должны быть согласованными, то есть число столбцов в первой матрице А_{3х 3} должно совпадать с числом строк во второй матрице B _{3 х2}. Если этого не происходит, значит провести умножение матриц невозможно.

2.1. Первым делом нам необходимо выяснить размер матрицы C. Для этого мы берем количество строк А_{3х 3} и количество столбцов B _{3 х2} и получаем, что матрица будет состоять из 3 строк на 2 столбцов.

2.2. Далее необходимо вычислить каждый элемент матрицы C. Для этого мы обращаем внимание на индекс каждого элемента. Первый индекс числа c _{1 1} отвечает за номер строки в первой матрице, а второй индекс (c_{1 1}) отвечает за номер столбца во второй матрице.

Исходя из этой информации, необходимо вычислить сумму произведений всех элементов в соответствующих сроках и столбцах.