Как извлечь корень из комплексного числа

Извлечение корня из комплексного числа

Невозможно однозначно извлечь корень из комплексного числа, так как оно имеет ряд значений, равных его степени.

Сложные числа подняты до степени тригонометрической формы, для которой справедлива формула Моиварда:

( z^=r^(cos k varphi+i sin k varphi), forall k in N )

Аналогично, эта формула используется для вычисления корня степени k из комплексного числа (не равного нулю):

Если комплексное число не равно нулю, то корни степени k всегда существуют, и их можно представить на комплексной плоскости: они будут вершинами k-угольника, вписанными в круг с центром в начале координат и радиус ( r^> )

Примеры решения проблем

Найти корень третьей степени из числа ( z=-1 ).

Вначале мы выражаем число ( z=-1 ) в тригонометрической форме. Вещественной частью числа ( z=-1 ) является число ( z=-1 ), мнимая часть равна ( y=operatorname ), ( z=0 ). Чтобы найти тригонометрическую форму написания комплексного числа, вам нужно найти его модуль и аргумент.

Модуль комплексного числа ( z ) – это число:

Аргумент вычисляется по формуле:

( varphi=arg z=operatorname frac=operatorname frac<0><-1>=operatorname 0=pi )

Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа равна: ( z=1(cos pi+i sin pi) )

Тогда корень 3-й степени выглядит следующим образом:

При ( mathrm=0 ) получаем:

При ( n=1 ) получаем:

( omega_<2>=cos pi+i sin pi=-1+i cdot 0=-1 )

При ( n=2 ) получаем:

Чтобы извлечь корень 2-й степени из числа ( z=1-sqrt <3>i )

Начнем с того, что мы выражаем комплексное число в тригонометрической форме.

Действительной частью комплексного числа ( z=1-sqrt <3>i ) является число ( x=operatorname z=1 ) , мнимая часть ( y=operatorname z=-sqrt <3>) . Чтобы найти тригонометрическую форму написания комплексного числа, вам нужно найти его модуль и аргумент.

Модуль комплексного числа ( r ) – это число:

Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа:

Применяя формулу для извлечения корня 2-й степени, получаем:

( =sqrt<2>left(cos left(frac<3>+pi nright)+i sin left(frac<3>+pi nright)right), n=0,1 )

Числа. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.

Рассматривать будем на таком примере:

Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:

Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:

Что и требовалось доказать.

Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: .

Такие корни являются сопряженными комплексными корнями.

Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:

Читать еще: Можно ли собаке сырое мясо

, ,

В каждом случае получаем 2 сопряженных комплексных корня.

Решим квадратное уравнение .

Первым шагом определим дискриминант уравнения:

В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:

Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня:

– сопряженные комплексные корни

Т.о., у уравнения есть 2 сопряженных комплексных корня:

Теперь можно решить любое квадратное уравнение!

У любого уравнения с многочленом n-ой степени есть ровно n корней, некоторые из них могут быть комплексными.

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение z n = w, либо, записав в другом виде: . Здесь n может принимать всякое натуральное значение, которое больше 1-цы.

В частности, при n = 2 получаем квадратный корень .

У уравнения типа есть ровно n корней z, z₁, z₂, … z_n_-1, которые можно вычислить с помощью формулы:

где – это модуль комплексного числа w,

φ – его аргумент,

а параметр k принимает значения: .

Найдем корни уравнения: .

Перепишем уравнение как: .

В этом примере , , поэтому у уравнения будет 2 корня: z и z₁. Детализируем общую формулу:

, .

Далее найдем модуль и аргумент комплексного числа :

Число w находится в 1-ой четверти, значит:

Помним, что определяя тригонометрическую форму комплексного числа лучше делать чертеж.

Детализируем еще немного общую формулу:

, .

Так подобно расписывать не обязательно. Здесь мы это сделали, что бы было ясно откуда что образовалось.

Подставляем в формулу значение k = 0 и получаем 1-й корень:

Подставляем в формулу значение k = 1 и получаем 2-й корень:

Ответ: ,

Если необходимо, корни, которые мы получили можно перевести обратно в алгебраическую форму.

Часто вычисленные корни нужно изобразить геометрически:

Как выполнить чертеж?

Для начала на калькуляторе вычисляем, чему равен модуль корней и чертим с помощью циркуля окружность этого радиуса. Все корни будем откладывать на данной окружности.

Далее берем аргумент 1-го корня и вычисляем, чему равен угол в градусах:

Отмеряем транспортиром 45° и ставим на чертеже точку z.

Берем аргумент 2-го корня и переводим его тоже в градусы: . Отмеряем транспортиром 165° и ставим на чертеже точку z₁.

По этому же алгоритму ставим точку z₂.

Видно, что корни располагаются геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. Чертеж обязательно делать при помощи транспортира.

Извлечение корня из комплексного числа

Извлечение корня из некоторого комплексного числа выполняется для чисел, которые представлены в тригонометрической форме.

Выражение вида $z=a+bi$, где $a$ и $b$ – вещественные числа, а $i$ – «мнимая единица», называется комплексным числом $z$. Мнимая единица определяется равенством $i=sqrt <-1>$ или $i^ <2>=-1$.

Читать еще: Какое дать имя ребенку по дате рождения

Запись некоторого комплексного числа $z$ в следующем виде $z=rcdot (cos varphi +isin varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ – модуль комплексного числа $z$, который определяется по формуле $r=|z|=|a+bi|=sqrt +b^ <2>> $, $varphi $ – аргумент комплексного числа $z$, который определяется по формуле $varphi =arctgfrac $.

Корень $n$-ой степени из некоторого комплексного числа $z$ – это такое комплексное число $w$, $n$-я степень которого равна $z$, то есть [w^ =z.]

Корень $n$-ой степени из некоторого комплексного числа $z$ обозначают как $sqrt[] $; на множестве всех комплексных чисел корень $n$-ой степени из этого комплексного числа $z$ имеет в точности $n$ значений.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Однозначно извлечь корень из некоторого комплексного числа невозможно, так как он имеет количество значений, равное его степени.

С геометрической точки зрения все значения корня $n$-ой степени из некоторого комплексного числа $z$ лежат на некоторой окружности радиуса $sqrt[] $, центр которой находится в начале координат О(0;0), и образуют правильный $n$-угольник (рис. 1).

Все комплексные числа, представленные в тригонометрической форме, можно возвести в некоторую степень по формуле Муавра:

[z^ =r^ cdot (cos nvarphi +isin nvarphi ),, , , , , forall nin N.]

Аналогично применяя формулу Муавра для вычисления корня $n$-ой степени из некоторого комплексного числа $z$ (не равного нулю) получаем:

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Корнем $n$-й степени из некоторого комплексного числа $z=rcdot (cos varphi +isin varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством

Если некоторое комплексное число $z$ отлично от нуля, то корень $n$-й степени существует всегда.

Выполнить действие $sqrt[<3>] $, где $z=2cdot (cos pi +icdot sin pi )$.

Воспользуемся формулой из определения 4.

Для $k=0$ получаем: $w_ <1>=sqrt[<3>] =sqrt[<3>] <2>cdot left(cos frac <3>+icdot sin frac <3>right)$.

Для $k=1$ получаем: $w_ <2>=sqrt[<3>] =sqrt[<3>] <2>cdot left(cos frac <3>+icdot sin frac <3>right)=sqrt[<3>] <2>cdot left(cos pi +icdot sin pi right)$.

Для $k=2$ получаем: $w_ <3>=sqrt[<3>] =sqrt[<3>] <2>cdot left(cos frac <3>+icdot sin frac <3>right)=sqrt[<3>] <2>cdot left(cos frac<5pi > <3>+icdot sin frac<5pi > <3>right)$.

Запись некоторого комплексного числа $z$ в следующем виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

$a$ – вещественная (действительная) часть, обозначение $Rez=a$;
$b$ – мнимая часть, обозначение $Imz=b$.

Читать еще: Как писать эссе по английскому

Чтобы извлечь корень $n$-ой степени из некоторого комплексного числа $z$, представленного в алгебраической форме, необходимо выполнить следующие действия:

записать данное число в тригонометрической форме;
извлечь корни, используя определение.

Чтобы комплексное число $z$, записанное в алгебраической форме, привести к тригонометрической форме записи, необходимо выполнить следующее:

вычислить модуль и аргумент;
подставить полученные значения в выражение $z=r(cos varphi +icdot sin varphi )$.

Выполнить операцию извлечения корня $sqrt[<3>] $ для заданных комплексных чисел в алгебраической форме представления:

Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(cos varphi +icdot sin varphi )$.

Вычислим модуль исходного комплексного числа:

Вычислим аргумент исходного комплексного числа, используя формулу (*):

Подставим полученные значения и получим:

Воспользуемся формулой из определения 4.

Для $k=0$ получаем: $w_ <1>=sqrt[<3>] =sqrt[<3>] > <2>> cdot left(cos frac <12>+icdot sin frac <12>right)$.

Для $k=1$ получаем:

Для $k=2$ получаем:

Запись комплексного числа $z$ в следующем виде $z=rcdot e^ $ называется показательной формой записи, где число $r$ – модуль комплексного числа $z$, который определяется по формуле $r=|z|=|a+bi|=sqrt +b^ <2>> $, $varphi $ – аргумент комплексного числа $z$, который определяется по формуле $varphi =arctgfrac $.

Чтобы извлечь корень $n$-ой степени из некоторого комплексного числа $z$, представленного в показательной форме, необходимо выполнить следующие действия:

записать число в тригонометрической форме;
извлечь корни, используя определение.

Чтобы комплексное число $z$, записанное в показательной форме, привести к тригонометрической форме записи, необходимо выполнить следующее:

определить из показательной записи числа значения модуля и аргумента;
подставить полученные значения в выражение $z=r(cos varphi +icdot sin varphi )$.

Выполнить операцию извлечения корня $sqrt $ для заданных комплексных чисел в показательной форме представления:

Тригонометрическая форма записи некоторого комплексного числа имеет вид $z=r(cos varphi +icdot sin varphi )$.

Определим значения модуля и аргумента: $r=3,, , varphi =frac <3>$.

Запись числа в тригонометрической форме имеет вид: $z=3cdot (cos frac <3>+isin frac <3>)$.

Воспользуемся формулой из определения 4.

Для $k=0$ получаем: $w_ <1>=sqrt =sqrt <3>cdot left(cos frac <6>+icdot sin frac <6>right)$.

Для $k=1$ получаем:

[w_ <2>=sqrt =sqrt <3>cdot left(cos frac <2>+icdot sin frac <2>right)=sqrt <3>cdot left(cos frac<7pi > <6>+icdot sin frac<7pi > <6>right).]

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Источники:

http://sciterm.ru/spravochnik/izvlechenie-kornya-iz-kompleksnogo-chisla/
http://www.calc.ru/Chisla-Izvlecheniye-Korney-Iz-Kompleksnykh-Chisel-Kvadratnoy.html
http://spravochnick.ru/matematika/kompleksnye_chisla_i_mnogochleny/izvlechenie_kornya_iz_kompleksnogo_chisla/

голоса

Рейтинг статьи