Чему равно произведение вектора a на 0
Вектор. Векторное произведение векторов.
Векторное произведение — это псевдовектор, который перпендикулярен плоскости, построенной по двум
сомножителям, которые являются результатом бинарной операции «векторное умножение» над
векторами в трёхмерном евклидовом пространстве.
Векторное произведение не имеет свойств коммутативности и ассоциативности (антикоммутативное)
Векторное произведение помогает в «измерении» перпендикулярности векторов — модуль
векторного произведения двух векторов равен произведению модулей этих векторов, если они
перпендикулярны, и стремится к нулю, если векторы параллельны или антипараллельны.
В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в
трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит
от ориентации прямоугольной системы координат или, говоря другими словами, её «хиральности».
Векторное произведение двух векторов обозначается квадратными скобками:
Свойства векторного произведения векторов.
1. Геометрический смысл векторного произведения векторов.
Векторным произведением вектора 
на вектор 
является
вектор 
, длина его численно соответствует площади
параллелограмма, который построен на векторах и ,
перпендикулярный к плоскости этих векторов и направлен
так, чтоб самое маленькое вращение от к около
вектора происходило против часовой стрелки, если взгляд вести
с конца вектора .
Модуль векторного произведения двух векторов и = площади параллелограмма, который
построен на них:
Площадь треугольника строящегося на векторах и соответствует одной второй модуля
векторного произведения векторов и :
2. Вектор перпендикулярен векторам и , то есть 
и 
;
3. Вектор направлен таким образом, что поворот от вектора к вектору происходит против часовой стрелки, если смотришь с конца вектора (в таком случае тройка векторов , и – правая).
4. Длина вектора равна || * || sin
Векторное произведение – определения, свойства, формулы, примеры и решения
Определение векторного произведения
Перед тем, как дать понятие векторного произведения, обратимся к вопросу о ориентации упорядоченной тройки векторов a → , b → , c → в трехмерном пространстве.
Отложим для начала векторы a → , b → , c → от одной точки. Ориентация тройки a → , b → , c → бывает правой или левой, в зависимости от направления самого вектора c → . От того, в какую сторону осуществляется кратчайший поворот от вектора a → к b → с конца вектора c → , будет определен вид тройки a → , b → , c → .
Если кратчайший поворот осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов a → , b → , c → называется правой, если по часовой стрелке – левой.
Далее возьмем два не коллинеарных вектора a → и b → . Отложим затем от точки A векторы A B → = a → и A C → = b → . Построим вектор A D → = c → , который одновременно перпендикулярный одновременно и A B → и A C → . Таким образом, при построении самого вектора A D → = c → мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).
Упорядоченная тройка векторов a → , b → , c → может быть, как мы выяснили правой или левой в зависимости от направления вектора.
Из вышесказанного можем ввести определение векторного произведения. Данное определение дается для двух векторов, определенных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
Векторным произведением двух векторов a → и b → будем называть такой вектор заданный в прямоугольной системе координат трехмерного пространства такой, что:
- если векторы a → и b → коллинеарны, он будет нулевым;
- он будет перпендикулярен и вектору a → и вектору b → т.е. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
- его длина определяется по формуле: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
- тройка векторов a → , b → , c → имеет такую же ориентацию, что и заданная система координат.
Векторное произведение векторов a → и b → имеет следущее обозначение: a → × b → .
Координаты векторного произведения
Так как любой вектор имеет определенные координаты в системе координат, то можно ввести второе определение векторного произведения, которое позволит находить его координаты по заданным координатам векторов.
В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторным произведением двух векторов a → = ( a x ; a y ; a z ) и b → = ( b x ; b y ; b z ) называют вектор c → = a → × b → = ( a y · b z – a z · b y ) · i → + ( a z · b x – a x · b z ) · j → + ( a x · b y – a y · b x ) · k → , где i → , j → , k → являются координатными векторами.
Векторное произведение можно представит как определитель квадратной матрицы третьего порядка, где первая строка есть векторы орты i → , j → , k → , вторая строка содержит координаты вектора a → , а третья – координаты вектора b → в заданной прямоугольной системе координат, данный определитель матрицы выглядит так: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z
Разложив данный определитель по элементам первой строки, получим равенство: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → – a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = ( a y · b z – a z · b y ) · i → + ( a z · b x – a x · b z ) · j → + ( a x · b y – a y · b x ) · k →
Свойства векторного произведения
Известно, что векторное произведение в координатах представляется как определитель матрицы c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , то на базе свойств определителя матрицы выводятся следующие свойства векторного произведения:
- антикоммутативность a → × b → = – b → × a → ;
- дистрибутивность a ( 1 ) → + a ( 2 ) → × b = a ( 1 ) → × b → + a ( 2 ) → × b → или a → × b ( 1 ) → + b ( 2 ) → = a → × b ( 1 ) → + a → × b ( 2 ) → ;
- ассоциативность λ · a → × b → = λ · a → × b → или a → × ( λ · b → ) = λ · a → × b → , где λ – произвольное действительное число.
Данные свойства имеют не сложные доказательства.
Для примера можем доказать свойство антикоммутативности векторного произведения.
По определению a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z и b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . А если две строчки матрицы переставить местами, то значение определителя матрицы должно меняется на противоположное,следовательно, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = – i → j → k → b x b y b z a x a y a z = – b → × a → , что и доказывает антикоммутативность векторного произведения.
Векторное произведение – примеры и решения
В большинстве случаев встречаются три типа задач.
В задачах первого типа обычно заданы длины двух векторов и угол между ними, а нужно найти длину векторного произведения. В этом случае пользуются следующей формулой c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .
Найдите длину векторного произведения векторов a → и b → , если известно a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 .
С помощью определения длины векторного произведения векторов a → и b → решим данную задач: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .
Задачи второго типа имеют связь с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина и т.д. ищутся через известные координаты заданных векторов a → = ( a x ; a y ; a z ) и b → = ( b x ; b y ; b z ) .
Для такого типа задач, можно решить массу вариантов заданий. Например, могут быть заданы не координаты векторов a → и b → , а их разложения по координатным векторам вида b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → и c → = a → × b → = ( a y · b z – a z · b y ) · i → + ( a z · b x – a x · b z ) · j → + ( a x · b y – a y · b x ) · k → , или векторы a → и b → могут быть заданы координатами точек их начала и конца.
Рассмотрим следующие примеры.
В прямоугольной системе координат заданы два вектора a → = ( 2 ; 1 ; – 3 ) , b → = ( 0 ; – 1 ; 1 ) . Найдите их векторное произведение.
По второму определению найдем векторное произведение двух векторов в заданных координатах: a → × b → = ( a y · b z – a z · b y ) · i → + ( a z · b x – a x · b z ) · j → + ( a x · b y – a y · b x ) · k → = = ( 1 · 1 – ( – 3 ) · ( – 1 ) ) · i → + ( ( – 3 ) · 0 – 2 · 1 ) · j → + ( 2 · ( – 1 ) – 1 · 0 ) · k → = = – 2 i → – 2 j → – 2 k → .
Если записать векторное произведение через определитель матрицы, то решение данного примера выглядит следующим образом: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 – 3 0 – 1 1 = – 2 i → – 2 j → – 2 k → .
Ответ: a → × b → = – 2 i → – 2 j → – 2 k → .
Найдите длину векторного произведения векторов i → – j → и i → + j → + k → , где i → , j → , k → – орты прямоугольной декартовой системы координат.
Для начала найдем координаты заданного векторного произведения i → – j → × i → + j → + k → в данной прямоугольной системе координат.
Известно, что векторы i → – j → и i → + j → + k → имеют координаты ( 1 ; – 1 ; 0 ) и ( 1 ; 1 ; 1 ) соответственно. Найдем длину векторного произведения при помощи определителя матрицы, тогда имеем i → – j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 – 1 0 1 1 1 = – i → – j → + 2 k → .
Следовательно, векторное произведение i → – j → × i → + j → + k → имеет координаты ( – 1 ; – 1 ; 2 ) в заданной системе координат.
Длину векторного произведения найдем по формуле (см. в разделе нахождение длины вектора): i → – j → × i → + j → + k → = – 1 2 + – 1 2 + 2 2 = 6 .
Ответ: i → – j → × i → + j → + k → = 6 . .
В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек A ( 1 , 0 , 1 ) , B ( 0 , 2 , 3 ) , C ( 1 , 4 , 2 ) . Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный A B → и A C → одновременно.
Векторы A B → и A C → имеют следующие координаты ( – 1 ; 2 ; 2 ) и ( 0 ; 4 ; 1 ) соответственно. Найдя векторное произведение векторов A B → и A C → , очевидно, что оно является перпендикулярным вектором по определению и к A B → и к A C → , то есть, является решением нашей задачи. Найдем его A B → × A C → = i → j → k → – 1 2 2 0 4 1 = – 6 i → + j → – 4 k → .
Ответ: – 6 i → + j → – 4 k → . – один из перпендикулярных векторов.
Задачи третьего типа ориентированы на использование свойств векторного произведения векторов. После применения которых, будем получать решение заданной задачи.
Векторы a → и b → перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4 . Найдите длину векторного произведения 3 · a → – b → × a → – 2 · b → = 3 · a → × a → – 2 · b → + – b → × a → – 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × – 2 · b → + – b → × a → + – b → × – 2 · b → .
По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать 3 · a → – b → × a → – 2 · b → = 3 · a → × a → – 2 · b → + – b → × a → – 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × – 2 · b → + – b → × a → + – b → × – 2 · b →
По свойству ассоциативности вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении: 3 · a → × a → + 3 · a → × – 2 · b → + – b → × a → + – b → × – 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · ( – 2 ) · a → × b → + ( – 1 ) · b → × a → + ( – 1 ) · ( – 2 ) · b → × b → = = 3 · a → × a → – 6 · a → × b → – b → × a → + 2 · b → × b →
Векторные произведения a → × a → и b → × b → равны 0, так как a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 и b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0 , тогда 3 · a → × a → – 6 · a → × b → – b → × a → + 2 · b → × b → = – 6 · a → × b → – b → × a → . .
Из антикоммутативности векторного произведения следует – 6 · a → × b → – b → × a → = – 6 · a → × b → – ( – 1 ) · a → × b → = – 5 · a → × b → . .
Воспользовавшись свойствами векторного произведения, получаем равенство 3 · a → – b → × a → – 2 · b → = = – 5 · a → × b → .
По условию векторы a → и b → перпендикулярны, то есть угол между ними равен π 2 . Теперь остается лишь подставить найденные значения в соответствующие формулы: 3 · a → – b → × a → – 2 · b → = – 5 · a → × b → = = 5 · a → × b → = 5 · a → · b → · sin ( a → , b → ) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .
Ответ: 3 · a → – b → × a → – 2 · b → = 60 .
Геометрический смысл векторного произведения
Длина векторного произведения векторов по орпеделению равна a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Так как уже известно (из школьного курса), что площадь треугольника равна половине произведения длин двух его сторон умноженное на синус угла между данными сторонами. Следовательно, длина векторного произведения равна площади параллелограмма – удвоенного треугольника, а именно произведению сторон в виде векторов a → и b → , отложенные от одной точки, на синус угла между ними sin ∠ a → , b → .
Это и есть геометрический смысл векторного произведения.
Физический смысл векторного произведения
В механике, одном из разделов физики, благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства.
Под моментом силы F → , приложенной к точке B , относительно точки A будем понимать следующее векторное произведение A B → × F → .
Вектор
В статье узнаете что такое вектор, векторные компоненты, единичный вектор, как складывать вектора, умножать вектора на скаляр, скалярное, векторное и смешанное произведение двух векторов.
Сохранение физической величины с вектором обычно означает совершенно иную ситуацию, чем просто сохранение ее скалярной длины. Постоянное значение импульса p (скаляр) может означать совершенно иную ситуацию, чем постоянный вектор p.
Вектор должен иметь три необходимые характеристики: значение (длина), направление, начало и конец.
Любое изменение любого из этих признаков — длины, направления или начало с концом — означает, что создан другой вектор. Два вектора равны тогда и только тогда, когда они имеют равную длину, направление и начало с концом.
Векторные компоненты
Компонентами вектора являются его проекции на оси системы координат.
Также в трехмерном пространстве векторы A называются векторами, которые являются проекциями этого вектора A на оси системы координат.
Имея вектор A, мы погружаем его в систему координат x, y, z. Векторы, являющиеся проекциями вектора A на оси системы, называются векторными компонентами вектора A. Вектор A является векторной суммой составляющих векторов Ax, Ay и Az .
Единичный вектор
Единичный вектор, имеющий то же направление, что и вектор, на который он ссылается, важен, но его длина всегда равна 1.
Единичные векторы осей координат. Мы также присваиваем единичные векторы оси системы отсчета. а) относится к правовращающей системе и б) к левосторонней системе.
Сложение векторов
Сумма вектора обычно не совпадает с суммой скалярных величин:
Добавление двух или более векторов друг к другу сводится к добавлению их компонентов, то есть проекций на опорные оси. Результирующий вектор называется случайным вектором. Для двух векторов результирующий вектор является диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Метод параллелограмма.
В случае большего числа векторов результирующий вектор получается путем рисования одного из этих векторов, затем в конце первого вектора мы начинаем второй, в конце второго мы даем начало третьего и так далее. Полученный вектор является вектором, начало которого находится в начале первого из добавленных векторов. и его конец в конце последнего. При изменении порядка сложения результирующий вектор (красный) не меняет длину, направление:
Это правило добавления векторов также действует в трехмерном пространстве:
Умножение вектора на скаляр
Самым простым умножением, выполняемым на векторах, является умножение вектора на скаляр (число). Такое умножение не меняет направление вектора, но, как правило, меняет его длину и может изменить его конец (когда скаляр является отрицательным числом). Когда вектор A умножается на α-скаляр, мы получаем новый вектор B:
Скалярное произведение и векторное произведение двух векторов являются очень важными направления в физике и геометрии. Существует также смешанное произведение трех векторов.
Скалярное произведение двух векторов
Формально скалярное произведение векторов представляет собой точку, и ее значение определяется зависимостью
Скалярное произведение описывает способ, которым оба вектора видят друг друга, то есть как долго тень (проекция) отбрасывает каждый из векторов в своего партнера, когда угол между ними равен φ
B cos φ — длина тени, которую вектор B выбрасывает в вектор A. Аналогично, A cos φ — длина тени, которую вектор A выбрасывает в вектор B.
Когда длина проекции (тени) одного из векторов равна нулю, тогда длина проекции второго вектора равна нулю, то есть A • B = 0. Это означает, что эти векторы не работают в одном и том же направлении вообще. Работа, которую мы выполняем при движении автомобиля, зависит не только от приложенной силы F, но и от угла, который создает направление силы и направление пути.
Так как единичные векторы оси системы отсчета х, у и z, которые обозначают векторы ех, еY и еz, перпендикулярны друг к другу, то в виду того, что А • В = АВcosφ и что cos 0 = 1 и cos 90 o = 0, мы получаем произведение значений этих единичных векторов:
Выполнение аналогичного умножения на векторы A и B
мы получили новое выражение для скалярного произведения двух векторов A и B
Значение скалярного произведения двух векторов A и B можно записать в виде двух эквивалентных выражений:
Сравнивая оба выражения, мы находим выражение для угла между векторами A и B:
Векторное произведение двух векторов
Многие важные величины в науке и технике определяются вектором, который является произведением двух других векторов. В таких случаях произведение этих векторов, называемое векторным произведением , приводит к третьему вектору.
В этом случае задача состоит в том, чтобы определить все три особенности вектора C, являющегося произведением векторного произведения векторов A и B:
Произведение векторов A и B , приводящее к третьему вектору C, отмечено диагональным крестом
Направление
Вектор С такой, что вектор перпендикулярен к плоскости, образованной векторами A и B, которая перпендикулярна как к вектору A и B.
Длина
вектор С равен значению параллелограмма, построенного на векторах А и В. Числовой C = ABsin φ.
Начало и конец
Вектор С определяет правое направление движения шнека во время нанесения первого вектора, а именно А или B.
Изменение порядка применения векторов означает изменение знака векторного произведения.
Таким образом, действительное свойство векторного произведения выглядит следующим образом A*B= -B*A
В отличие от скалярного произведения, векторное произведение некоммутативно.
Мы встретимся с векторным произведением на протяжении всего курса физики. Это также часто встречается в механике, а также в науке об электричестве и магнетизме.
В повседневной жизни векторное произведение находится в виде момента силы во вращательном движении. Мы воздействуем на вращательное движение тем эффективнее, чем больше применяем момент силы.
При откручивании гайки гаечным ключом речь идет не только о силе F, но и о способе ее применения (длина рычага R и угол, который создает рычаг с направлением силы).
Все эти зависимости элегантно включены в одно выражение в виде векторного произведения:
Хотя составляющие вектора C, который является произведением векторного произведения векторов A и B, уже включены в его длину и направление, но имея данные составляющих векторов A и B, мы можем использовать их для определения компонентов вектора C в форме матрицы:
Удобнее всего рассчитать этот определитель, расширив относительно первой строки.
Смешанное произведение трех векторов
Смешанное произведение трех векторов является скалярным значением, равным значению детерминанта
Геометрическая интерпретация: смешанное произведение численно равно объему V параллелепипеда, растянутому по векторам A, B и C:
Циклическая корректировка векторов в смешанном произведении не меняет значение этого произведения, то есть:
Тимеркаев Борис — 68-летний доктор физико-математических наук, профессор из России. Он является заведующим кафедрой общей физики в Казанском национальном исследовательском техническом университете имени А. Н. ТУПОЛЕВА — КАИ
Источники:
http://www.calc.ru/Vektor-Vektornoye-Proizvedeniye-Vektorov.html
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/vectornoe_proizvedenie/
http://meanders.ru/vektor.shtml
